北師大版數學五年級上冊《點陣中的規律》的教學實錄
一、談話引入
師：從小我們就學數數、用數字，那么對于數字的發明和發展過程，你們都哪些了解？（學生交流課前搜集的相關信息）
生1：古時候人們用石子來計數，比如打一只兔子就擺一塊石子。
生2：還有用繩子打結的，有幾個人就打幾個結。
生3：我知道我們現在用的數字是印度人發明的，從阿拉伯傳到我國的，所以叫阿拉伯數字。
師：大家了解的信息真不少！阿拉伯數字的發明，使我們的記錄和計算更加方便，但是在表現數字的特征方面，有時候圖形會更加直觀。今天老師請來了一位圖形朋友——點（老師在黑板上畫點），看到這個點，你能快速地想到哪個數字？
生齊：1。
師：不要小看了這個小小的點，早在2000多年前，古希臘的數學家們就是從這樣一個小小的點開始研究，發現了由許多個這樣的點組成的圖形中的規律，還給這些圖形取了一個好聽的名字，叫點陣。同學們想不想過一把當數學家的癮，自己來尋找這些規律？
生齊：想。
師：今天，我們就一起來探究點陣中隱含的規律。（板書課題：點陣中的規律）
二、探究正方形點陣中的規律
1、探究一組正方形點陣的規律。
師：我們一起來看看數學家們當年研究的點陣圖，邊看邊說出各個點陣的點子數。
（依次出示前四個正方形點陣圖，并逐步引導學生想像、猜測：下一個點陣圖會是什么樣子呢？）
生：第一個是1個點；第二個是4個點；
師：在心里想第三個、第四個點陣圖是什么樣子。（示圖）與你的想像一樣嗎？
生1：一樣。就是9個點。
生2：我知道第四個點陣有16個點，肯定是的。
（隨著點陣圖的依次出現，學生的思維逐漸活躍，當第三個點陣圖出現的時候，學生不用數，已經忍不住地說出了點數。說明學生已經發現了這組正方形點陣中的規律。但這時，教師沒有急于讓學生發表自己的看法，而是給學生留出了完善自己想法的時間，同時也暗示學生：規律的呈現不能依靠一個或幾個圖形來歸納，應該有耐心地繼續自己的觀察活動。）
師：除了能說出各個點陣的點數之外，仔細觀察點陣圖：你們還有什么其它的發現？
生1：第一個點陣是1個點，其余的都是正方形的。
生2：我發現從第一個圖開始點子數分別是加3、加5、加7。
生3：我發現它們的點子數能寫成1×1、2×2、3×3、4×4。
師：你們真了不起！這種形狀的點陣就是正方形點陣，大家不但用數字表示每個點陣的點數，還能用算式來表示這組點陣的規律。根據剛才發現的規律，想一想：第五個點陣是什么樣子呢？自己畫出來，并用算式表示點數。
（學生活動：獨立畫出第五個5×5的點陣圖，全班交流。）
師：照這樣的規律繼續畫下去，第9個點陣的點數如何用算式來表示？第100個呢？第n個呢？在小組內交流一下。
生：第九個點陣表示為9×9；
第100個點陣表示為100×100；
第n個點陣就表示為n×n。
（結合發現的規律，引導學生逐步完善自己的想法，建立總結正方形點陣規律的模型。）
師：那么你們覺得每個正方形點陣的點子總數與什么有關系？在小組內討論交流。
生1：點子總數與正方形點陣每一排的點子數有關系。
生2：就是邊長乘邊長。
生3：還與是第幾個有關系，第一個就是1×1，第二個就是2×2，第三個就是3×3，一直這樣數下去。
（學會用簡單的語言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）
師：說得真好！每個正方形點陣的點子總數可以看作是一個相同數字相乘的積，這個數字與點陣的序號有關，與每個正方形點陣每排的點子數也有關系。
2、同一個點陣的不同劃分中的規律。
師：剛才我們研究了一組正方形點陣中隱含的規律，那么對于同一個點陣來說，如果劃分的方法不同，所呈現的規律也就不同。
請大家仔細觀察第五個正方形點陣中點的劃分方法，你能發現什么規律？與同桌交流你的想法。
生1：我發現都是用折線分開的。
生2：我發現從短的線開始，每條線內的點分別是1、3、5、7、9。
生3：這個正方形點陣的點數用算式表示就是：1＋3＋5＋7＋9=25。
師：大家的發現真不少！那如果把每條線所包圍的點子數記下來，如何用算式來表示？
學生匯報：
第一條線：1 = 1；
第二條線：1＋3 = 4；
第三條線：1＋3＋5 = 9；
第四條線：1＋3＋5＋7 = 16；
第五條線：1＋3＋5＋7＋9 = 25；
師：你們覺得這組算式有什么特點？
生1：一個算式比一個算式多加一個數。
生2：它們的得數正好是剛才那一排點陣的點子數。
生3：都是連續的奇數在相加。
師：是從幾開始的連續奇數呢？
生：是從1開始的連續奇數在相加。
師：如果按這樣的劃分方法劃分第六個正方形點陣，它的點數該如何用算式來表示？
生：1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ 36。
師：剛才我們是把這個5×5的正方形點陣用折線進行了劃分，你們還有哪些不同的劃分的方法？如何用算式表示？在小組內研究一下。
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