實變函數期末試卷
在學習、工作生活中，我們最少不了的就是試卷了，在各領域中，只要有考核要求，就會有試卷，試卷是命題者按照一定的考核目的編寫出來的。那么問題來了，一份好的試卷是什么樣的呢？以下是小編為大家整理的實變函數期末試卷，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。
實變函數期末試卷 1
一、填空題
設12nAn 12n 則limnnA。 ab因為存在兩個集合之間的一一映射為 。 設E是2R中函數1cos000xyxx的圖形上的點所組成的 集合則EE。 若集合nER滿足EE 則E為集。 若是直線上開集G的一個構成區間 則滿足： 。 設E使閉區間ab中的全體無理數集 則mE。 若nmEfx0fx 則說nfx在E上 。 設nER 0nxR若則稱0x是E的聚點。 設nfx是E上幾乎處處有限的可測函數列 fx是E上 幾乎處處有限的可測函數 若0 有 則稱nfx在E上依測度收斂于fx。 設nfxfxxE 則nfx的子列jnfx 使得。
1、 111nn 。
2、111nnnnn 。
3、 01到aab的雙射是 。
4、 E的全體聚點所組成的'集合包含于E的充要條件是 。
5、01中無理數集的外測度為 。
6、nR中所有開集生成的代數記為B稱B中的集合為 。
7、若0mA則對任意的點集B必有mAB 。
8、 當E為閉區間時mE 。
9、設函數fx在可測集E上幾乎處處有限若對任意給定的0存在E中的一個閉集F使mEF且fx在F上連續則fx是可測集E上的 。
10、 是否存在開集使其余集仍為開集是或不是選其一填寫 。
11、如果 則稱E是自密集如果 則稱E是開集如 果EE則稱E是 。
12、設G表示為一列開集iG之交集1iiGG則G稱為 。
13、 若F表示為一列閉集iF之并集1iiFF則F稱為 。
14、 abRbaf在E上可測則EfaEfb 。
15、 Cantor集的外測度為 。
26Fatou引理設nf是可測集qRE上一列非負可測函數則 。
二、判斷題。
正確的證明 錯誤的舉反例。 若AB可測 AB且AB則mAmB。 設E為點集 PE 則P是E的外點。 點集112En的閉集。 任意多個閉集的并集是閉集。 若nER滿足mE 則E為無限集合。
1、若E與它的真子集對等則E一定是有限集
2、凡非負可測函數都是L可積的 8。設A為1R空間中一非空集若。aA則。aA 9。設E為可測集則存在G型集F使得EF且0FEm 10。xf在ba上L可積則xf在baR可積且babadxxfRdxxfL
三、 計算證明題
1、證明：ABCABAC
2、 設M是3R空間中以有理點即坐標都是有理數為中心 有理數為半徑的球的全體 證明M為可數集。
3、 設nERiEB且iB為可測集 12i。根據題意 若有 0imBEi 證明E是可測集。 設P是Cantor集 32ln101xxPfxxxP。 求10Lfxdx。 設函數fx在Cantor集0P中點x上取值為3x 而在0P的余集中長為13n的構成區間上取值為16n 12n 求 10fxdx。 求極限： 13230limRsin1nnxnxdxnx。
4、開集減
實變函數期末試卷 2
一、選擇題
1、下列關于集合的命題中，正確的是（ ）。
A、 若是A的真子集，則必有A B
B、必有比a小的.基數
C、 一個點不是E的聚點必不是E的內點
2、設A是閉區間[0，1]中的無理點集，則下列說法正確的是（ ）。
A、 mE = 1
B、 mE = 0
C、 E是不可測集
二、填空題
1、設B是實數集R中的無理數集，則B的基數是_____。
2、設An = （1/n， 1/n），n = 0，1，2，......，則∪An = _____，∩An = _____。
3、閉區間[a， b]上的有界函數f（x） Riemann可積的充要條件是f（x）是_____上的幾乎處處的連續函數。
三、計算題
1、計算lim （n→∞） ∫[0，1] sin（nx） dx。
2、設f（x） = x，x為小于1的無理數；f（x） = 0，x為有理數或x≥1。試計算∫[0，2] f（x） dx。
四、證明題
1、證明：若mE = 0，則E為可測集。
2、證明：設{E_n}是一列可測集，且E_n E_（n+1），n = 1，2，......，則lim （n→∞） m（E_n） = m（∪E_n）。
五、應用題
（這里可以根據具體教學內容和難度，設計一些與實際應用相關的題目，如概率論、測度論中的實際問題等。）
實變函數期末試卷 3
一、選擇題
1、下列哪個集合是可數集？
A. 實數集R
B. 有理數集Q
C. 區間[0,1]
D. 所有長度為1的線段集合
答案：B
2、設f:R→R是可測函數，若f(x)≥0對所有x∈R成立，則∫Rf(x)dx必定：
A. 小于0
B. 等于0
C. 大于等于0
D. 不確定
答案：C
二、填空題
1、設ER是可測集，且m(E)=0（m表示勒貝格測度），則對任意f:E→R，有∫Ef(x)dx=_______。
答案：0
2、勒貝格外測度的性質之一：若AB，則m(A)≤_______。
答案：m(B)
三、簡答題
1、解釋什么是“幾乎處處”的概念，并給出一個實變函數中的例子說明其應用。
答案要點：幾乎處處是指除了一個測度為零的集合外，都滿足某性質。例如，在實變函數中，若函數在某區間上幾乎處處可導，則意味著該函數在該區間上除了一個測度為零的`點集外，其余點都可導。
2、證明：若f,g:R→R是可測函數，則f+g也是可測函數。
證明要點：利用可測集的可數可加性和逆否命題，通過考慮f+g的上界和下界來構造合適的集合序列進行證明。
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